如图所示，倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为34L

Question

如图所示，倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为(3)/(4)L时将物块由静止开始释放（物快做简谐运动），且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态．重力加速度为g．
（1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
（2）物块做简谐运动的振幅是多少；
（3）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；（已知做简谐运动的物体所受的恢复力满足 F=-kx）

Answer 1

（1）物体平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力，根据平衡条件，有：
mgsinα=k•△x
解得：△x=(mgsinα)/(k)
故弹簧的长度为L+(mgsinα)/(k)；
（2）物体做简谐运动的振幅为：
A=△x+(1)/(4)L=(mgsinα)/(k)+(L)/(4)；
（3）物体到达平衡位置下方x位置时，弹力为：k（x+△x）=k（x+(mgsinα)/(k)）；
故合力为：F=mgsinα-k（x+(mgsinα)/(k)）=-kx；
故物体做简谐运动；
答：（1）物块处于平衡位置时弹簧的长度为L+(mgsinα)/(k)；
（2）物块做简谐运动的振幅是(mgsinα)/(k)+(L)/(4)；
（3）证明如上．