（18分）1957年第一颗人造卫星上天，开辟了人类宇航的新时代。四十多年来，人类不仅发射了人造地球卫星，还向宇宙空间发射了多个空间探测器。空间探测器要飞向火星

Question

（ 18 分） 1957 年第一颗人造卫星上天，开辟了人类宇航的新时代。四十多年来，人类不仅发射了人造地球卫星，还向宇宙空间发射了多个空间探测器。空间探测器要飞向火星等其它行星，甚至飞出太阳系，首先要克服地球对它的引力的作用。理论研究表明，由于物体在地球附近受到地球对它的万有引力的作用，具有引力势能。设质量为 m 的物体在距地球无限远处的引力势能为零，则引力势能表达式为 E _P ＝－ ，式中 G 是万有引力常量， M 是地球的质量， r 是该物体距地心的距离。

（ 1 ）试证明空间探测器的最小发射速度与它绕地球匀速运行的最大环绕速度相等。

（ 2 ）现有一个质量为 m 的空间探测器绕地球做匀速圆周运动，运行周期为 T ，已知球半径为 R ，地面附近的重力加速度为 g 。求该探测器做匀速圆周运动时的机械能（用 m 、 g 、 R 、 T 表示）；

（ 3 ）在（ 2 ）的情形下，要使这个空间探测器从运行轨道上出发，脱离地球的引力作用，至少要对它作多少功？

Answer 1

解析 ：

（ 1 ） 设 G 是万有引力常量，地球质量为 M ，人造地球卫星的质量是 m ．当人造地球卫星在离地心 r 处的轨道上绕地球以速度 v 做匀速圆周运动时，由地球对卫星的万有引力提供卫星环绕运行所需的向心力关系知

＝ ， v ＝ （ 2 分）

因为 R 是 r 的最小值，所以 v ＝ 是地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，即 v _{max 环} ＝ （ 2 分）

取离地球中心无穷远处为引力势能的零点，则物体在距地球中心为 r 处的引力势能可表示为 （ 1 分）

设地面上卫星的发射速度为 v _发 ，先假定发射时不计空气阻力，地球卫星进人地球轨道半径 r 处时，卫星环绕速度为 v ，则由机械能守恒定律，可得

（ 2 分）

又因 v ＝ ，将其代入上式可得

所以 v _发 ＝ 　 （ 1 分）

要发射一个贴 “ 地皮 ” 飞行的人造地球卫星，这时的 r 是最小的，从 v _发 可知卫星发射速度也是最小的，将 r ＝ R 代入上式的 v _发 ，得 v _发 ＝ （ 1 分） 即 v _发 ＝ v _{max 环} （ 1 分）

其他解法可一样得分。

（ 2 ）空间探测器绕地球作圆周运动，有

由 ＝ 得，空间站的轨道半径 r ＝ 　　（ 1 分）

＝

随空间站一起运动时，空间探测器的动能为 mv ² ＝ ＝ 　（ 1 分）

随空间站一起运动时，空间探测器具有的机械能为

E ₁ ＝－ ＋ mv ² = － ＝ （ 2 分）

（ 3 ）空间站要脱离地球的引力，机械能最小值为 E _∞ ＝ 0 ，因此，对探测器做功为

W ＝ E _∞ － E ₁ ＝ 　　　　　　（ 2 分）

由地面附近的重力加速度 g= 得 W ＝ 　（ 2 分）