（2013•长宁区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，其半径为1，E、D是切点，∠BOC=105°．求AE的长．

Question

（2013•长宁区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O 是Rt△ABC的内切圆，其半径为1，E、D是切点，∠BOC=105°．求AE的长．

Answer 1

连接OD、OE．
则OD=OE=1，
∵O是△ABC的内切圆圆心
∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
即∠OBD＝∠OBE＝(1)/(2)∠ABC且∠OCD＝(1)/(2)∠ACB
又∵∠ACB=90°，∴∠OCD＝(1)/(2)∠ACB＝45°，
∵OD、OE是过切点的半径，
∴OD⊥BC 且OE⊥AB，∴∠OCD+∠COD=90°，
∴∠COD=∠OCD=45°，∴OD=CD=1，
∵∠COB=105°，∴∠DOB=∠COB-∠COD=60°，
在Rt△OBD中，
tan∠BOD＝(DB)/(OD)＝(DB)/(1)＝√(3)，
∴DB＝√(3)，
∠OBD+∠BOD=90°，∴∠OBD=30°，
∵∠DOB＝∠OBE＝(1)/(2)∠ABC＝30°，
∴∠ABC=60°，
∴BC=BD+CD=1+√(3)
在Rt△ABC中，
AB=2+2√(3)，
在Rt△OBE中，
∵OE=1，∠OBE=30°，
∴BE=(1)/(tan30°)=√(3)，
∴AE=2+√(3)．