我们都学过“猫吃老鼠”的问题：（I）如果按照吃一个、留一个的顺序，那么当老鼠排成一直线时，最后留下的是其中最大的形如2n的数．（1）请问：现在有30只老鼠排成一直线，按照吃2个

Question

我们都学过“猫吃老鼠”的问题：
（I）如果按照吃一个、留一个的顺序，那么当老鼠排成一直线时，最后留下的是其中最大的形如2n的数．
（1）请问：现在有30只老鼠排成一直线，按照吃2个、留1个的顺序，最后留下哪一只？
（2）如果有100只老鼠呢？
（3）你能得出什么结论吗？
（Ⅱ）如果仍然吃一个、留一个，而老鼠排成圆周，那么我们知道，如果老鼠的数量恰为2时，留下的老鼠就是最后一只，如果老鼠的数量不是2，那么我们先吃掉一部分，将剩余数量变为2，那么此时的最后一只就是最后留下来的一只．
例如，如果50只老鼠围成一圈，那么我们先把数量变为32只，先吃掉50-32=18只，分别是 1、3、5、„„、35只，现在只剩32老鼠，新的第一只是第37号老鼠，最后一只是第36号老鼠，于是，剩下的老鼠是第36号．
请问：如果有101只老鼠围成一圈，按照吃2个、留一个的顺序，最后留下哪一只？为什么？

Answer 1

（1）按照吃2个、留1个的顺序，即吃1、2，留3，吃4、5，留6，…．即3×1、3×2、3×3、3×4、3×5、3×6…，在尝试中观察，探索规律，最后留下的是最大的形如3ⁿ的数．
1-30中，则留下的是27号．
（2）由Ⅰ可知，按照吃一个、留一个的顺序，那么当老鼠排成一直线时，最后留下的是其中最大的形如2n的数，1-100中，最大最大的形如2n的数是64，则留下的是64号．
（3）由此可发现，第一次留下的是N号老鼠，则最后留下的即是这些数中的形如Nⁿ的数．
（Ⅱ）如果有101只老鼠围成一圈，按照吃2个、留一个的顺序，则留下的是其中最大形如3ⁿ的数．
1-101中，最大形如3ⁿ的数是81，则最后留下是81号．