如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若O的半径为2，∠B=30°，求图中阴影部分面积（结果保留π）．

Question

如图，点O为 Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的 O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若 O的半径为2，∠B=30°，求图中阴影部分面积（结果保留π）．

Answer 1

（1）证明：∵ O切BC于D，
∴OD⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC∥OD，
∴∠CAD=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠CAD，
即AD平分∠CAB；

（2）设EO与AD交于点M，连接ED．
∴∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵OA=OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴AE=OA，∠AOE=60°，
∴AE=AO=OD，
又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，
∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，
∴S_△AEM=S_△DMO，
∴S_阴影=S_扇形EOD=(60π×22)/(360)=(2)/(3)π．