是否存在两个正整数a,b(a≤b)且关于x的方程x2-abx+a+b=0有正数解,存在求出满足a,b的所有值.不存在说明理由

Question

是否存在两个正整数a,b(a≤b)且关于x的方程x2-abx+a+b=0有正数解,存在求出满足a,b的所有值.不存在说明理由

Answer 1

a,b,x都是正整数
x^2-abx+a+b=0
x=[ab±√△]/2
方程的判别式△=(ab)^2-4(a+b)≥0
a≥2,b≥2
△=(ab)^2-4(a+b)=0,n^2
(1)△=(ab)^2-4(a+b)=0
a=b=2,x=2
(2)n正整数,△=(ab)^2-4(a+b)=n^2
(ab)^2-n^2=4(a+b)
(ab-n)*(ab+n)=4(a+b)=1*4(a+b)=2*2(a+b)=4*(a+b)
ab-n=1
ab+n=4(a+b)
2ab=1+4(a+b)
a=(1+4b)/[2(b-2)],b≥3
没有符合条件的正整数a,b
ab-n=2
ab+n=2(a+b)
2ab=2+2(a+b)
a=(b+1)/(b-1),b≥2
b=2,a=3
b=3,a=2
ab-n=4
ab+n=(a+b)
2ab=4+(a+b)
a=(b+4)/(2b-1),b≥2
b=2,a=2
答：使方程x2-abx+a+b=0的根都是整数的所有正整数a,b为：
a=b=2
a=2;b=3
a=3,b=2