青蛙需要向前跳跃去捕捉前方同一水平面上的小虫子,如果青蛙的起跳速度大小一定,青蛙以水平面成多大角度起跳时跳的最远?

Question

青蛙需要向前跳跃去捕捉前方同一水平面上的小虫子,如果青蛙的起跳速度大小一定,青蛙以水平面成多大角度起跳时跳的最远?

Answer 1

不考虑空气阻力等因素,对青蛙的起跳速度进行正交分解(速度v与水平方向夹角为θ),沿水平方向的速度为v1,沿竖直方向的速度为v2,则青蛙在水平方向上做匀速直线运动,在竖直方向上做竖直上抛运动,所以有速度方程:
v1=vcosθ.(1)
v2=vsinθ-gt.(2)
位移方程:
s1=vtcosθ.(3)
s2=vtsinθ-gt^2/2.(4)
青蛙在空中运动的时间由竖直方向上的抛体运动的时间决定,所以当青蛙落地时的速度与v2大小相同,方向相反,则
-vsinθ=vsinθ-gt
t=(2vsinθ)/g
将t代入方程(3),得
s1=(2v^2sinθcosθ)/g=(2v^2sin2θ)/g
讨论上式,因为角θ在0至90度之间,所以2θ在0到180度之间,根据三角学知识,知当2θ=90时,sin2θ的值最大,所以θ=45时,上式有最大值.