∫2到正无穷1/x(lnx)^kdx当k为何值时,取最小值

Question

∫2到正无穷1/x(lnx)^kdx
当k为何值时,取最小值

Answer 1

原式=∫(2→+∞)1/(lnx)^kd(lnx)
当k=1时,原式=lnlnx|(2→+∞)=+∞
当k≠1时,原式=-1/(k-1)*1/(lnx)^(k-1)|(2→+∞)
显然k>1时可能取最小值,所以原式=1/(k-1)*1/(ln2)^(k-1)
要原式最小,则(k-1)(ln2)^(k-1)=e^(ln(k-1)+(k-1)lnln2)最大.
因为ln2