广义积分∫（上限+∞,下限2）dx/x(inx)^k当k为何值时,广义积分取得最小值?

Question

广义积分∫（上限+∞,下限2） dx/ x(inx)^k 当k为何值时,广义积分取得最小值?

Answer 1

被积函数的原函数是(lnx)^(1－k)/(1－k),因此当k>1时,积分值存在且为(ln2)^(1－k)/(k－1).
令g(k)=(ln2)^(k)×(k－1),g'(k)＝(ln2)^k+(k－1)(ln2)^k*ln2=(ln2)^k*(kln2+1－ln2)>0,因此
g(k)是递增趋于正无穷的函数,没有最大值.
故积分值ln2/g(k)没有最小值,只能得到当k趋于无穷时,有积分值趋于0.