沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展到一个平面上，所得的矩形称为圆柱的侧面展开图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高（母线长），所以圆柱的侧面积S=2πrl，其中r

Question

沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展到一个平面上，所得的矩形称为圆柱的侧面展开图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高（母线长），所以圆柱的侧面积S=2πrl，其中r为圆柱底面圆半径，l为母线长，现已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？

Answer 1

（1）设内接圆柱底面半径为r
由三角形相似得(r)/(R)＝(H−x)/(H)，
所以r=((H−x)R)/(H)，
S_圆柱侧=2π((H−x)R)/(H)•x=(2πR)/(H)（-x²+Hx）（0＜x＜H）．
（2）S_圆柱侧=(2πR)/(H)（-x²+Hx）=(2πR)/(H)•[-（x-(H)/(2)）²+(H2)/(4)]，又0＜x＜H，
所以当x=(H)/(2)时，S圆柱侧最大=(1)/(2)πRH．