关于高数初等变形,如何根式有理化,麻烦指点下,纠结死了~x^(1/2)-1lim-----------------x-1x^(1/3)-1

Question

关于高数初等变形,如何根式有理化,麻烦指点下,纠结死了~
x^(1/2) -1
lim -----------------
x-1 x^(1/3) -1

Answer 1

这类题目有两种方法：有理化（通用）或者换元（简单）
1、有理化
一般是利用平方差、立方差公式
比如本题,分子是 √x - 1
根据平方差公式 乘上 √x +1 即变成 x -1
分母是 ³√x - 1 ,根据立方差公式
乘上 (³√x)² + ³√x +1 即变成 x -1
故本题只需分子分母同乘以 (√x +1)[(³√x)² + ³√x +1]
化简得：
原式 = lim [(³√x)² + ³√x +1] / (√x +1) = 3/2
2、换元
本题令 t= x^(1/6)
原式= lim (t³ -1) / (t² -1)
= lim (t²+t+1) / (t+1) 【因式分解、约分】
= 3/2
显然本题用换元法稍简单一些.
但是大多数时候换元法是用不上的
例如 lim [ √(x²+x) - x ] 没法换元.
但根据平方差公式有理化如下：
原式= lim [√(x²+x) - x] [√(x²+x) + x] / [√(x²+x) + x]
= lim x / [√(x²+x) + x]
=lim 1/[√(1+ 1/x) +1] 【分子分母同除以x】
= 1/2
所以有理化是解决此类题目的通法,一定要掌握.
如果还有疑问欢迎追问o(∩_∩)o