已知抛物线y^2=2px(p>0)过顶点两弦OA垂直OB.求以OA,OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹设A（2pt1^2,2pt1)B(2pt2^2,2pt2)以OA为直径的圆的方程为x^2+y^2-2pt1^2x-2pt1=0OB:x^2+y^2-2pt2^2x-2pt2y=0为什么t1,t

Question

已知抛物线y^2 =2px (p>0)过顶点两弦OA垂直OB.求以OA,OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹
设A（2pt1^2,2pt1) B(2pt2^2 ,2pt2) 以OA为直径的圆的方程为
x^2 +y^2 -2pt1 ^2 x -2pt1 =0
OB :x^2+ y^2 -2pt2 ^2 x -2pt2y=0
为什么t1,t2为方程2pxt^2 +2pty -x^2 -y^2=0的两根?这个怎么得来的啊?

Answer 1

设A（2pt1^2,2pt1) B(2pt2^2 ,2pt2) 以OA为直径的圆的方程为
x^2 +y^2 -2pt1 ^2 x -2pt1 y =0
OB :x^2+ y^2 -2pt2 ^2 x -2pt2y=0
为什么t1,t2为方程2pxt^2 +2pty -x^2 -y^2=0的两根?这个怎么得来的啊?
因为t1代入2pxt^2 +2pty -x^2 -y^2=0得到x^2 +y^2 -2pt1 ^2 x -2pt1 y =0
因为t2代入2pxt^2 +2pty -x^2 -y^2=0得到x^2+ y^2 -2pt2 ^2 x -2pt2y=0
故：t1,t2为方程2pxt^2 +2pty -x^2 -y^2=0的两根
我解决此题一般按以下方法：因为OA⊥OB,OA,OB为直径,连接OQ后,不难证明A、B、Q三点共线,且：OQ⊥AB
设Q（x,y）, A（2pt²,2pt) B(2pk²,2pk),k≠t
故：2pt/(2pt²)•2pk/(2pk²)=-1（因为OA⊥OB）；（2pk-2pt）/（2pk²-2pt²）•y/x=-1（因为OQ⊥AB）; （2pk-2pt）/（2pk²-2pt²）=（2pk-y）/（2pk²-x）（因为A、B、Q三点共线）
由：2pt/(2pt²)•2pk/(2pk²)=-1可以得：kt=-1
由：（2pk-2pt）/（2pk²-2pt²）•y/x=-1可以得：y=-(k+t)x,故k+t=-y/x
由：（2pk-2pt）/（2pk²-2pt²）=（2pk-y）/（2pk²-x）可以得：1/(k+t)= （2pk-y）/（2pk²-x）
故：1/(k+t)= （2pk-y）/（2pk²-x）=-x/y
即：x²+y²-2p(k²x+ky)=0
又：kt=-1得：t=-1/k代入y=-(k+t)x化简
得：k²x+ky=x,代入x²+y²-2p(k²x+ky)=0
故：Q的轨迹x²+y²-2px=0