某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年进行一系列的促销活动。经市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年消费量用t万元之间满足：3-x与t+1成反比例。如果不搞促销

Question

某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年进行一系列的促销活动。经市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年消费量用t万元之间满足：3-x与t+1成反比例。如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件。又2010年生产化妆品的固定投资为3万元，每生产1万件化妆品需要投资32万元。当将化妆品的售价定为“年平均成本的150%”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年的产销量相等。
（1）试用促销费用t表示年销售量x；
（2）将2010年的利润y万元表示为促销费用t万元的函数；
（3）该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

Answer 1

（1）由题意，得 ，
且当 时， ，所以k=2，
即 。
（2）当年销量x万件时，成本为3+32x（万元），
化妆品的售价为 （万元/万件），
所以年利润 （万元），
把 代入整理，
得 ，其中 。
（3）将 去分母，
整理得到 ，
该关于t的方程在 上有解，
当 即 时，必有一解；
当 时，该关于t的方程必须有两正根，
所以 ，
解得： ，
综上，年利润最大为42万元，此时促销费t=7（万元）。