四位平方数,千位百位数相同,十位个位数相同,且是某个二位数的平方,求四位平方数的个数

Question

四位平方数,千位百位数相同,十位个位数相同,且是某个二位数的平方,求四位平方数的个数

Answer 1

88^2=7744.只有这一个.
设四位平方数为xxyy,且为两位数ab的平方.
即(10a+b)^2=1000x+100x+10y+y=11*(100x+y)
可见11整除10a+b=11a+b-a,所以11整除b-a,只有a=b.
从而11a^2=100x+y=99x+x+y
因此11整除x+y,而1≤x+y≤18,所以x+y=11,
于是a^2=9x+1,(a-1)(a+1)是9的倍数,但a-1,a+1不同为3的倍数,因此a-1或a+1是9的倍数,只有a=8.
因此所求的数只有一个88^2=7744.