设函数f（x）在[0，1]上可导，f（0）=0．（Ⅰ）设φ（x）=∫x0tf（x-t）dt，x∈[0，1]，求φ′′′（x）；（Ⅱ）证明至少存在一点ξ∈（0，1），使得∫10tf（1-t）dt=16f′（ξ）

Question

设函数f（x）在[0，1]上可导，f（0）=0．
（Ⅰ）设φ（x）=

∫

x 0

tf（x-t）dt，x∈[0，1]，求φ′′′（x）；
（Ⅱ）证明至少存在一点ξ∈（0，1），使得

∫

1 0

tf（1-t）dt=(1)/(6)f′（ξ）

Answer 1

（I）因为φ（x）=∫x0tf(x−t)dt      u＝x−t . ∫0x(x−u)f(u)(−du) =∫x0(x−u)f(u)du=x∫x0f(u)du-∫x0uf(u)du，所以，φ′（x）=∫x0f(u)du+xf(x)−xf(x)=∫x0...