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设函数f（x）在[0，1]上可导，f（0）=0．（Ⅰ）设φ（x）=∫x0tf（x-t）dt，x∈[0，1]，求φ′′′（x）；（Ⅱ）证明至少存在一点ξ∈（0，1），使得∫10tf（1-t）dt=16f′（ξ）
题目详情
设函数f（x）在[0，1]上可导，f（0）=0．
（Ⅰ）设φ（x）=
tf（x-t）dt，x∈[0，1]，求φ′′′（x）；
（Ⅱ）证明至少存在一点ξ∈（0，1），使得
tf（1-t）dt=
f′（ξ）
（Ⅰ）设φ（x）=
| ∫ | x 0 |
（Ⅱ）证明至少存在一点ξ∈（0，1），使得
| ∫ | 1 0 |
| 1 |
| 6 |
▼优质解答
答案和解析
（I）因为φ（x）=∫x0tf(x−t)dt u＝x−t . ∫0x(x−u)f(u)(−du) =∫x0(x−u)f(u)du=x∫x0f(u)du-∫x0uf(u)du，所以，φ′（x）=∫x0f(u)du+xf(x)−xf(x)=∫x0...
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