（2004•广州一模）某个凸多面体有32个面，各面是三角形或五边形，每个顶点处的棱数都相等，则这个凸多面体的顶点数可以是（）A．60B．45C．30D．15

Question

（2004•广州一模）某个凸多面体有32个面，各面是三角形或五边形，每个顶点处的棱数都相等，则这个凸多面体的顶点数可以是（　　）

A．60
B．45
C．30
D．15

Answer 1

设这个凸多面体有n个面是三角形，则是五边形的面有32-n个，此时总棱数
E＝(3n+5(32−n))/(2)＝80−n条．
由欧拉定理可知，V+32-E=2，
∴V=50-n．
又设每个顶点处的棱数为m条（其中3≤m≤5且m∈N*），
由于每个顶点处的棱数都相等，则总棱数E＝(mV)/(2)条，
由欧拉定理可知，V＝(60)/(m−2)，
∴50-n=(60)/(m−2)（其中3≤m≤5且m∈N*）．然后讨论这个不定方程的自然数
当m=3时，可得n=-10，不合题意，舍去；
当m=4时，可得n=20，∴V=30；
当m=5时，可得n=30，∴V=20．
故选C．