如何判断一个数列为等差还是等比数列,并且如何求其通项公式不只是方法,更重要的是有相关的例题.

Question

如何判断一个数列为等差还是等比数列,并且如何求其通项公式
不只是方法,更重要的是有相关的例题.

Answer 1

等差数列公式an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d m+n=k+l am+an=al+ak 求和 Sn=(a1+an)n/2=a1n+n(n-1)d/21）等比数列：An+1/An=q, n为自然数. （2）通项公式：An=A1*q^（n－1）； 推广式： An=Am·q^(n－m)； （3）求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=[A1(1-q^n）]/(1-q) （4）性质： ①若 m、n、p、q∈N,且m＋n=p＋q,则am·an=ap*aq； ②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列. (5）“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”. （6）在等比数列中,首项A1与公比q都不为零. （二）等差与等比数列混合
等差数列和等比数列的混合,相隔两项之间的差值或比值相等,整个数字序列不一定是有序的
例21：5,4,10,8,15,16 ,（）,（）
A.20,18 B.18,32 0.20,32 D.18,32
【解析】答案是C.此题是一道典型的等差、等比混合题.其中奇数项是以5为首项、公差为5的等差数列,偶数项是4为首项、公比为2的等比数列.这样,我们便可知答案为C
3 5 7 9
【解析】答案为B.此题乍一看似乎无从人手,但仔细分析便不难发现.此列分数的分母是以7为首项,公比为2的等比数列,而分子是以3为首项,公差为2的等差数列,所以,正确答案为B
例23：2,3,4,9,6,27,8,（）
A.6 B.7 C.81 D.60
【解析】答案是C.奇数项数字组成等差为2的等差数列,偶数项组成等比为3的等比数列.
例24：2,4,8,16,14,64,20,（）
A.25 B.35 C.256 D.270
【解析】答案为C,奇数项组成等差为6的等差数列,偶数项需要进一步化解才能找出规律：4,16,64,可以发现它们之间存在等比因子为4的规律
例25：4,2,2,3,6,15,（）
A.16 B.30 C.45 D.50
【解析】答案为C.数列的规律在于数列中后一项数字与相邻前一项数字之比依次为0.5,1,1.5,2,2.5,比例数呈等差关系,故第七项数字与15的比应当是3,所以45才是正确的选项.我们把这种题型称为二级等差数列.
（四）加法规律
加法规律是题十数列前面几项数字的和等于相邻的后一项,或者前面一项数字等于后面几项数字的和.
例26：3,5,8,13,21,（）
A.34 B .35 C .38 D.42
【解析】答案为A.数字排列试题中的规律是：“前面相邻两数的和为下一数”,在本题中：首先分析两数字间的数量关系并进行两两比较,第一个数字3与第二个数字5之和正好是第三个数字8,而第二个数字5与第三个数字8之和正好是第四个数字13.继续往下推,第三个数字和第五个数字21的和34,故选项A为正确答案.
例27：1,2,3,6,12,（）
A.18 B.16 C.24 D.20
【解析】答案为C.这也是一道与两数相加形式相同的题.所不同的是这次它不是两数相加,而是把前面的数都加起来后得到的是的后一项；即第三项是第一、二项之和,后边的项也是依此类推……那么未知项最后一项是前面所有项的和,即1+2+3+4+12=24,故本题应该是24,即C为正确的答案
【解析】答案为A.此题分子无变,主要应考查分母的变化,其规律为：未知项的分母是前面所有项分母的和,即空缺项分母是6+6+12+24=48,故本题正确答案应该是表
例29：85,50,35,15,（）
A.25 B.10 C.5 D . 20
【解析]答案为D.即前一项数字等于相邻后两项数字之和.
例30：1800,1000,600,200,（）
A.0 B一200 C.100 D一100
【解析】答案为A.我们从题十数字中,难以发现各数之间存在等比、等差或等比等差交叉的情形,但却发现它们存差着这样一个关系,即第一项数等于后面三项的和,所以只有A符合要求.
（五）减法规律
减法规律是指题十数列各数字之间存在着这样的一个关系,即前一数字等于相邻的后两个或几个数字差,或者前两个或几个数字的差等于相邻后面的数字.
例31：5,3,2,1,1,（）
A一3 B一2 C.0 D.2
【解析]答案为C.此题的第一项5和第二项3的差等于第三项2,第四项又是第二项与第三项之差……所以,第四项和第五项之差就是未知项.即1一1 =0
例32：13,8,5,3,（）,1
A.（）K.一1 C.2 D.一2
【解析】答案为C.此题为典型的减法题,前两项之差等于第三项,故选C
例33：10,6,4,3,1,（）
【解析】答案为A.从题十数列可知,前两项数字之差等于第三项,故选A
（六）乘法规律
乘法规律是指即题十数列中存在着前两个数字的积等于第三个数的规律.
例34：3,4,12,48,（）
A .576 B .36 C .192 D .444
【解析】答案为A.这道题的规律也不难寻找,而且思路与求和相加式、求差相减式类似,前两项经过某种四则运算等于后一项,这道题运用了乘法,3x4=12,4x12=48,那么12x48应该等于576故正确答案为A
例35：2李,4尝,6典,10兴,
【解析】答案为A.这题中的数字可分成整数、分数两部分来看待,其中,整数部分的规律为：两项之和等于第三项；分数部分的规律为：前两项分母之积等于第三项分母
例36：1,8,8,64,（）
A.512 8.256 C.128 D.64
【解析】答案为A.这也是一道相乘形式的题,仔细观察,前两项之积等于第三项,由此可推知未知项应是第三、四两项之积,故正确答案为A（一七）除法规律除法规律是指题十数列中存在着前两个数字的商等于第三个数的规律.
【解析】答案为D.这类题仔细研究便会发现它是求商相除式,前两项之商是后一项,所以2=,故正确答案为D
3项,故第5项应是第三项与第四项之
【解析】答案为B.这是典型的除法题,前两项之商为第商,所以正确答案为B
例39：100,50,2,25,（
R .3
【解析】答案为C.这个数列是相除形式的数列,即后一项是前两项之比,所以未知项应该是2一25
（八）平方型和立方型
例40：1,4,9,16,（）,36
A.20 8.25 C.27 D.32
【解析】答案为Bo观察题十数列,发现各个数依次可变换为1=1-,4=2-,9=3-,16=4-,36=
6-,故第5项数字应是25=5- o
例41：一1,0,1,2,9,（）
A.11 B .82 0.729 D.730
【解析】答案为D.因为从第二项起后项分别为相邻前一项的立方加1,故括号内应为
例42：
【解析】答案为“上面数可变形为告,故括号内应为几1,即为典,所以,选择B为正确答案书1
例43：16,36,25,49,36,
A . 49 B.
【解析】答案为A.同例42,不同的是排奇数项的数和排偶数项的数的规律是不同的,通过观察可见排奇数的数分别4-,5-,6-,排偶数项的数分别为6-,7-,8-,故第7项为7- o
例44：2,3,10,15,26,35,（）
A.50 8.48 C.49 D.51
【解析】答案为A.这是平方常写的一种变式.2=1-+1,3=2--1,10=3-+1,15=4--1,26=5-+1,35=6--1,故第7个数字应是7-+1=49+1=50
例45：4,4,2,一2}）
A一3 B.4 C.一4 D一8
【解析】答案为D.本题转折较多,有一定难度,其规律是4,6,8,10,12分别加上1,2,3,4,5,得到5,8,11,14,17,丙分}!1减去1,2,3,4,5的平方1,4,9,16,25,正好得到4,4,2,一2,一8.在正式考试中,尚未出现过这种题日,但掌握它也是重要的,因为很可能在你参加的考试中,出现这类题日.一般来说,这类题日有两个特征,其一是前两项是相同的,其二是在数列中有负数项.如果一个题日同时具备这两个特征,考生就应该首先想到这一规律
例46：1,3,15,（）
A.46 8.48 C.255 D.256
【解析】答案为C.各项加1之后,后一项即为前一项的平方减1
例47：1,8,27,（）
A.36 B .64 C.72 D.81
【解析】答案为B.各项分别是1,2,3,4的立方,故括号内应填的数字是64
例48：6,24,60,120,（）
A .220 B.360 0.210 D.240
【解析】答案为C.各项规律为23 -2 , 33 -3 , 43 -4 , 53 -5
例49：一1,0,1,2,9,（）
A.11 B .82 0.729 D.730
【解析]答案为D.因为从第二项起后项分别为相邻前一项的立方加1,故括号内应为D
例50：0,6,24,60,120,210,（）
A.280 B.32 0.729 D.336
【解析】答案为D.数列中各项可整理为13-1, 23-2, 33-3, 43-4, 53-5, 63-6,故后面的项应为7；-7 =336.所以选择D.此类题的排列规律可以概括为,13i -n,因此,做这一类题时应从前面几种排列规律中跳出来,想到这种新的排列思路,丙通过分析比较、尝试寻找,才能找到正确答案.
例S1：R,一1,127'645,一1125'216
【解析】答案为”?所给数可以写出123 , 1_15；,故该项应为_1 _163 216
例52：一2,一1,1,5,（ ）,29
A.17 B.15 C.13 D.11
【解析]答案为Co（一1）一（一2）=1=2",1一（一1 ）=2' ,5一1=4=2-,5+23=13,13+20 =29（九）隔项数列式
两个数列交替排列在一列数字中,有时两个数列都是以等差数列的规律排列,有时两个数不是同规律排列的,例如一个等比,一个等差.
例53：3,6,6,9,9,12,12,E）
A.14 B.15 C.16 D.17
【解析】答案为B.奇数项与偶数项分别呈公差为3的等差数列,故括号内应为12+3=15
（十）其他
例54：26,11,31,6,36,1,41,（）
A.0 B一3 C.一4 D . 46
【解析】答案为C.数列中奇数项是公差为5的等差数列,偶数项是公差为一5的等差数列,故括号一内应为1一5=一4
例55：11,22,44,88,（）
A.128 B.156 C.166 D.176
【解析】答案为D.奇数项与偶数项分别呈公比为4的等比数列,故括号内应为44x4=176
例56：2.01,4.02,8.04,16.08,（）
A.32.08 B.32.16 C.30.08 D.30.16
【解析]答案为B.奇数项与偶数项分别呈公比为4的等比数列.
例57：1,50,2,49,4,47,（）
A.6 B.7 C.46 D.8
【解析】答案为B.奇数项的后一项与相邻前一项的差依次为1,2；偶数项后一项与相邻前一项的差依次为1,2；故括号内应为4+3=7
【解析]答案为A.分母的值从第二项起分别为2,3,4,5,故应填项的分母为6,又从第二项起二、三两项的乘积为1,四、五两项的积为1,且偶数项的值的分子比分母大1,故应为子
【解析】答案为D数列各项分母依为：,4,5,6,7；分子依次为2,3,4,5,6,故括号内应为粤
【解析】答案为C.数列中各项分子依次为1,2,3,4；分母依次丫1-+1,丫2-+1,丫3-+1,
丫4-+lA,故括号内应为
【解析】答案为“?此数列可变形为去,护,洽,舟,故各项分母分别加,4,} ）,16,
25的平方,可判断它们后一项与相邻前一项差依次为3,5,7,9,故所缺应为步=六?
例62：江,万,振,派,（）
A.为2 B.为3 C.石2 D.石3
【解析】答案为B.被开方数分别为2,3,5,8,它们的后一项为相邻前两项的和.故应填同的被开方数为13；而所给数据开方的次数依次为2,3,4,5,故应填人项的开方次数为6.所以组合在一起的结果应为为互
例63：江一1,
理化可以得到万一江,第三项用同一方法可以得到2一万,那么未知项应该是c一2,即答案为A
例64：123,456,789,（）
A.1112 B.101112 C.11112 D.100112
【解析】答案为A.这种题表面形式上可以得到规律：123,456,789,那么不会出发现101112的情况呢,其实这时应该想到等差数列,第一项为123,第二项为456,第三项为789,三项中相邻的差都是333,所以应把上面数列看作是一个等差数列,未知项应该是789 + 333 = 1122,故正确答案为A
1、经典真题回顾
1. [ 2001年中央卷第42题」
6,24,60,132,（）
A.140 8.210 C.212 D.276
【解析】砸过分析得知此数列后一项与前一项的差构成一个公比2的等比数列,即18,36,72,也就是说,6+ 18=24,24+36=60,60+72= 132,由此推知空缺项应为132 + 144 = 276,故正确答案为
2. [ 2002年中央卷（A类第s题〕
34,36,3s,3s,（）,34,37,（）
A.36,33 B .33,36 C .37,34 D .34,37
【解析】此题为混合数列.其中奇数项是公差为1的递增数列,偶数项是公差为1的递减数列.由此可知空缺项分别应为36,33故正确答案为A
3. [ 2002年中央卷（B类第3题）
32,27,23,20,18,（）
A.14 B.is C.16 D.17
【解析】本题为二级等差数列,相邻两数的差值组成公差为1的递减数列,由此可知空缺项应为18一1=17故答案为D
4. [ 2003年中央卷（A类第1题）
1,4,8,13,16,20,（）
A.20 B.2s C.27 D.28
【解析】该数列相邻两数的差成3,4,s一组循环的规律,所以空缺项应为20+s=2s,故选B
5 . [ 2003年中央卷（A类第4题）
（）,36,19,10,s,2
A.77 8.69 C.54 D.48
【解析】该数列的规律比较难找,需要相邻两数做差后丙次做差,我们从给出的五个数相邻的两数做差得到17,9,5,3,丙将这四个数做差得到8,4,2,可以发现它们都是2的,1次方（n=1,2,3……）,所以空缺项应为36+17+24=69,故答案选B
6 . [ 2003年中央卷（B类第2题〕
1,1,2,6,24,（）
A.48 8.96 C.120 D.144
【解析】该数列分}!1从0到5的阶,0! =1,1! =1,2! =2,3! =6,4! =24,5! =120,故选C项
7 . [ 2003年中央卷（B类第4题〕
1,2,6,15,31,（）
A.53 8.56 C.62 D.87
【解析】该数列相邻两个数之差分别从1到5的平方,2一1=1,6一2=4,15一6=9,31一15=16,56一31=25,故选B项
8 . [ 2003年中央卷（A类第3题〕
1,4,27,（）,3125
A.70 B.184 C.256 D.351
【解析】该数列是,1的,1次方（n=1,2,3,ww ）,11,22,33ww55,所以要选的数应该是4的4次方即256,故选C