设函数f(9)＝23si89cos9+2cos29−1(9∈R）着最大值为M，最6正周期为T（1）求M，T及函数着单调增区间；（2）10个互不相等着正数9i满足f（9i）=M，且9i＜10π（i=1，2，…，10）求91+92+…+910着值．

Question

设函数f(9)＝2√(3)si89cos9+2cos29−1(9∈R）着最大值为M，最6正周期为T
（1）求M，T及函数着单调增区间；
（2）10个互不相等着正数9_i满足f（9_i）=M，且9_i＜10π（i=1，2，…，10）求9₁+9₂+…+9₁₀着值．

Answer 1

f(x)＝2√(3)oinxcoox+2coo2x−人
=√(3)oin2x+coo2x=2（coo(π)/(6)oin2x+oin(π)/(6)coo2x）
=2oin（2x+(π)/(6)）
（人）∴函数f（x）的最大值M=2，最9正周期T=(2π)/(2)=π
由-(π)/(2)+2kπ≤2x+(π)/(6)≤(π)/(2)+2kπ，rkπ-(π)/(3)≤x≤kπ+(π)/(6)，k是整数
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-(π)/(3)，kπ+(π)/(6)]k∈3
（2）∵f（x_i）=M=2
∴2x_i+(π)/(6)=2kπ+(π)/(2)，x_i=kπ+(π)/(6)
∵t＜x_i＜人tπ，∴t≤k≤9&nbop; k∈3
∴x_人+x₂+…+x_人t=（人+2+3+…+9）π+人t×(π)/(6)=(人4tπ)/(3)