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设abc是正数,且a+b+c=1、证明a的平方+b的平方+c的平方大于(a+b+c)÷3
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设abc是正数,且a+b+c=1、证明a的平方+b的平方+c的平方大于(a+b+c)÷3
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答案和解析
证明：1=(a＋b＋c)²=a²＋b²＋c²＋2(ab＋bc＋ca),
又ab＋bc＋ca≤(a²＋b²)/2＋(b²＋c²)/2＋(c²＋a²)/2=a²＋b²＋c²,
即有1≤3(a²＋b²＋c²),
所以a²＋b²＋c²≥1/3.
即：a^2+b^2+c^2≥（a+b=c）/3
又ab＋bc＋ca≤(a²＋b²)/2＋(b²＋c²)/2＋(c²＋a²)/2=a²＋b²＋c²,
即有1≤3(a²＋b²＋c²),
所以a²＋b²＋c²≥1/3.
即：a^2+b^2+c^2≥（a+b=c）/3
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