为什么线性代数低维无关,高维也无关,

Question

为什么线性代数低维无关,高维也无关,

Answer 1

用反证法：设α1=(a11,a12,……a1n),α2=(a21,a22,……a2n),……,αm=(am1,am2,……amn),
β1=(a11,a12,……a1n,a1,(n+1),……a1,(n+k)),β2=(a21,a22,……a2n,a2,(n+1),……a2,(n+k)),……,βm=(am1,am2,……amn,am,(n+1),……am,(n+k))
假设α1,α2,……,αm线性无关,而β1,β2,……,βm线性相关
∵β1,β2,……,βm线性相关,∴存在不全为0的c1,c2,……,cm 使得
c1α1+c2α2+……+cmαm=0(向量）
从而：
c1a11+c2a21+……+cmam1=0
c1a12+c2a22+……+cmam2=0
…………
c1a1n+c2a2n+……+cmamn=0
…………
c1a1,(n+k)+c2a2,(n+k)+……+cmam,(n+k)=0
而从前n个等式可推知,α1,α2,……,αm线性相关,与原来的α1,α2,……,αm线性无关矛盾.
∴若α1,α2,……,αm线性无关,则β1,β2,……,βm线性无关,即低维无关,高维也无关.