如果四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,问对角线关系?

Question

如果四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,问对角线关系?

Answer 1

它的对角线垂直
设顶点依次为 A,B,C,D.对角线的交点为O.
根据三角形边长定理：
AB^2=AO^2+OB^2-2AO*OB*COSBC^2=BO^2+OC^2-2BO*OC*COSCD^2=CO^2+OD^2-2CO*OD*COSDA^2=DO^2+OA^2-2DO*OA*COS又应为：AB^2+CD^2=BC^2+DA^2
所以：AO^2+OB^2-2AO*OB*COSBO^2+OC^2-2BO*OC*COS整理得：AO*OB*COS又因为对角相等： (AO*OB+CO*OD)*COS然后分类讨论,(AO*OB+CO*OD)=(DO*OA+BO*OC)的情况,这里得两角相等,相邻角和180,所以90
或者,(AO*OB+CO*OD)不=(DO*OA+BO*OC),那COS