如图所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．

Question

如图所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．

Answer 1

证明：设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P．
在△BDQ中，BQ²+DQ²=2PQ²+2•2((BD)/(2))2=2PQ²+(BD2)/(2)
即2BQ²+2DQ²=4PQ²+BD²．①
在△ABC中，BQ是AC边上的中线，
所以BQ²=(1)/(4)（2AB²+2BC²-AC²）．②
在△ACD中，QD是AC边上的中线，
所以DQ²=(1)/(4)（2AD²+2DC²-AC²）．③
将②，③代入①得(1)/(2)（2AB²+2BC²-AC²）+(1)/(2)（2AD²+2DC²-AC²）
=4PQ²+BD²，
即AB²+BC²+CD²+DA²=AC²+BD²+4PQ²．