有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m=11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，

Question

有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m=11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选法种数为2．
（1）若m=100，直接写出选法种数；
（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为a_n．当n≥2时，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）分类讨论，只取数字1或10或100时，共3种；取1和10，可分为1个10，2个10，…9个10，共9种
∴相应的选法种数为3+9=12种；                       …（3分）
（2）若至少选一张写有100的卡片时，则除去1张写有100的卡片，其余数字之和为100（n-1），
有a_n-1种选法；若不选含有100的卡片，则有10n+1种选法．
所以，a_n=10n+1+a_n-1，…（8分）
从而，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=10n+1+10（n-1）+1+…+10×2+1+a₁
=10((n+2)(n−1))/(2)+n-1+a₁
=5n²+6n+1
所以，{a_n}的通项公式是a_n=5n²+6n+1．                                  …（10分）