不是只有连续函数的积分上限函数才具有可导性吗?那么下面这个求极限的过程是不是有问题?lim(x->0)[∫(0到x^2)ln(1+t)/t]dt/[x^2]=lim(x->0)[2x*ln(1+x^2)/x^2]/[2x]=1,(罗必达法则),这是复习全书上的答案,我

Question

不是只有连续函数的积分上限函数才具有可导性吗?那么下面这个求极限的过程是不是有问题?
lim(x->0)[∫(0到x^2)ln(1+t)/t]dt/[x^2]=lim(x->0)[2x*ln(1+x^2)/x^2]/[2x]=1,(罗必达法则),这是复习全书上的答案,我的疑问是ln(1+t)/t这个函数在t=0这个点又不是连续的(因为在0这点没有定义啊),那么怎么在0到x^2这个区间上还可导呢?教材上的定义是:若f(x)在区间[a,b]上连续,则F(x)=∫(a到x)f(t)dt在[a,b]上可导,且F'(x)=f(x).而我这个题是不满足这个条件的啊?

Answer 1

不知道是不是你们还没学广义积分.广义积分是普通的定积分的扩展.广义积分中,对间断点有这样几种处理方式.
1、对于f（x）在x=x0处没有定义,但是是可去间断点,也就是在x=x0处有极限,但没函数值.那么就规定f（x）在x=x0处的值就等于极限.然后就和连续函数一样求极限.
2、如果f（x）在x→x0处趋向∞.那么如果对于定积分∫（上标a,下标t）f（x）dx当a→x0时,定积分有极限,那么这个极限就记为广义积分∫（上标x0,下标t）f（x）dx.同样如果对定积分∫（上标a,下标t）f（x）dx当t→x0时,定积分有极限,那么这个极限就记为广义积分∫（上标a,下标x0）f（x）dx.
这里就是广义积分.