怎么样的函数不是连续函数

Question

怎么样的函数不是连续函数

Answer 1

其实很简单,想法来源于Dirichlet函数,就是
当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,
显然这函数处处不连续.
那么我们对其做一点修改,就可以满足只在一点连续了,改法为:
当x为有理数时f(x)=x-a,当x为无理数时f(x)=0,
其中a为有理数.
那么f(x)就只在a点连续了.
具体证明你想想就知道了.
类似地,我们可以扩展出只在两个点、只在三个点连续的函数.只需把有理点上的f(x)=x-a换成f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),我们便得到一个只在a,b,c三点连续的函数.
当然,连续函数也不见得是可导的.
f (x) = ∞n =0 bncos (cnπx)其中a为一正奇数 ,0