国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生凌霄在本科期

Question

国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生凌霄在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．凌霄同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比上一月多x元．
（Ⅰ）若凌霄恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；
（Ⅱ）当x=50时，凌霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费？
（参考数据：1.05¹⁸=2.406，1.05¹⁹=2.526，1.05²⁰=2.653，1.05²¹=2.786）

Answer 1

（Ⅰ）依题意，从第13个月开始，
每月还款额比前一个月多x元，
故12×500+（500+x）+（500+2x）+…+（500+24x）=24000
即36×500+（1+2+3+…+24）x=24000，解得x=20（元）．（6分）
即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．（7分）
（Ⅱ）设凌霄第n个月还清，
则应有12×500+（500+50）+（500+2×50）+…+[500+（n-12）×50]≥24000
即n²-3n-828≥0，解之得n≥(3+√(3321))/(2)＞30，取n=31．（10分）
即凌霄工作31个月就可以还清贷款．
这个月凌霄的还款额为
24000−[12×500+(500+50)×(30−12)+((30−12)×(30−12−1))/(2)•50]＝450元（12分）
第31个月凌霄的工资为1500×1.05¹⁹=1500×2.526=3789元．
因此，凌霄的剩余工资为3789-450=3339，
能够满足当月的基本生活需求．（14分）
解法2：（Ⅰ）依题意，从第13个月开始，
每个月的还款额为a_n构成等差数列，其中a₁=500+x，公差为x．（2分）
从而，到第36个月，凌霄共还款12×500+24a1+(24×(24−1))/(2)•x（4分）
令12×500+(500+x)×24+(24×(24−1))/(2)•x＝24000，解之得x=20（元）．（6分）
即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．（7分）
（Ⅱ）设凌霄第n个月还清，则应有
12×500+(500+50)×(n−12)+((n−12)×(n−12−1))/(2)•50≥24000（8分）
整理可得n²-3n-828≥0，解之得n≥(3+√(3321))/(2)＞30，取n=31．（10分）
即凌霄工作31个月就可以还清贷款．
这个月凌霄的还款额为
24000−[12×500+(500+50)×(30−12)+((30−12)×(30−12−1))/(2)•50]＝450元（12分）
第31个月凌霄的工资为1500×1.05¹⁹=1500×2.526=3789元．
因此，凌霄的剩余工资为3789-450=3339，能够满足当月的基本生活需求．（14分）