流体力学知识告诉我们,过过水断面面积一定,则湿周（指过水断面中水与河床的接触部分）最小时,流量最大.现设过水断面的面积为定值S,形状是底角大小为定值a的等腰梯形,求湿周长c的最小

Question

流体力学知识告诉我们,过过水断面面积一定,则湿周（指过水断面中水与河床的接触部分）最小时,流量最大.现设过水断面的面积为定值S,形状是底角大小为定值a的等腰梯形,求湿周长c的最小值

Answer 1

简单说,湿周就是那个等腰梯形除开上面的那个边后的周长
梯形面积为S
设腰长为m,下底为k,底角大小为定值a
高为：m*sina
显然,上底边为：k+2mcosa
则面积为：
S=1/2*(k+k+2mcosa)*m*sina
解得：
S=(k+mcosa)*m*sina
k=S/m*sina -mcosa
而湿周为：k+2m
即
k+2m=S/(msina) -mcosa+2m
=S/(msina) +(2-cosa)m
因为S/(msina) ,(2-cosa)m均为正数.由重要不等式
a+b≥2√ab 得
≥2√（S（2-cosa）/sina
等号在S/(msina) =(2-cosa)m 时成立
所以最大湿周：
2根号S（2-cosa）除以sina