一.将连接圆周上的9个不同点的36条直线段染成红色或蓝色,假设9点中每三点所确定的三角形都至少含有一条红色的边.证明：有四点,其中每两点的连线都是红色.二.有9名数学家在一次国际数

Question

一.将连接圆周上的9个不同点的36条直线段染成红色或蓝色,假设9点中每三点所确定的三角形都至少含有一条红色的边.证明：有四点,其中每两点的连线都是红色.
二.有9名数学家在一次国际数学家会议上相遇,假定每三个人总有两人互相认识,证明必有4名数学家彼此认识.
三.用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：一定存在一个边长为1或根号3的正三角形,它的三个点是同色的.
(其实我已经换其它的号了)请大家不要抄袭奥数书上的答案，我要另外的做法！

Answer 1

1.这题我想到了二进制来控制颜色,我对9个点分别标上号,0或1,也就是说,每一个点都一个号,是0或1,然后我规定,两个点号码不同,连起来就是蓝色的,号码相同,连起来同色,这样一来,每一个三角形的三个点,根据抽屉原理,一定有两个点是同色的,那么也就至少有一条边是红色的,这样就很好的模拟了条件!然后我发现,根据抽屉原理,至少有5个1或至少有5个0,这样,我其实证明了,一定存在有5个点,其中每两点的连线都是红色.
2.第二题和第一题其实是一个题,就好象客人就是1个点,认识就是两个点之间的连线是红色的,由上题得到,我们至少存在5个点,其中每两点的连线都是红色.那么也就至少存在5个人,他们是互相认识的.
3.这道题没个图没法说清楚,所以我用坐标来说,你解析法应该懂吧.
首先在平面上一个边长为1的正三角形,至少有两个点是同色的.所以我随便找两个点,相距1,不妨让这两个点是白色的.我把它放到坐标系中,令(0,0)点是红色的,(0,1)点是白色的,然后用反证法,先假定这个命题是不成立的,那么(sqrt(3)/2,1/2)是黑色的,同理,(-sqrt(3)/2,1/2)也是黑色的,而(sqrt(3)/2,1/2),(-sqrt(3)/2,1/2),(0,-1)是边长为sqrt(3)的正三角形,所以(0,-1)是白色的,那么(0,0),(0,-1)是白色的,那么(sqrt(3)/2,-1/2)是黑色的,但是这么画下去怎么化也画不出矛盾的条件.我做不出,只能帮你找答案.答案我还是看懂了.
首先证明若相距2的两个异色的点,一定是存在满足条件的三角形.
不妨令(-1,0)是黑色的,(1,0)是白色的.那么不妨令(0,0)是白色的,这样(1/2,sqrt(3)/2)是黑色的,(1/a2,-sqrt(3)/2)是黑色的,(-1,0)(1/2,sqrt(3)/2)(1/2,sqrt(3)/2)就是边长为sqrt(3)且顶点同色的三角形.
然后证明一定存在相距2的两个异色的点
以(0,0)为圆心,4为半径,画圆,如果圆内都是白色的(黑色同理),那么要证命题已经成立,若至少存在一个p点,是黑色的,那么必可在圆内找到和p相距2,且是白色的点,那么命题成立.
证明还是很巧妙的,叹为观止.