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比较下列各题中两式的大小,并指出等号成立的条件p+q=1,p>0,q>0,(px+qy)²与px²+qy²
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答案和解析
根据p+q=1,可得p-p^2=pq=q-q^2,则
(px+qy)^2-(px^2+qy^2)
= (p^2-p)x^2+2pqxy+(q^2-q)y^2
= pq(-x^2+2xy-y^2)
= -pq(x-y)^2 <= 0
∴(px+qy)^2 <= (px^2+qy^2),当且仅当x=y时等号成立
(px+qy)^2-(px^2+qy^2)
= (p^2-p)x^2+2pqxy+(q^2-q)y^2
= pq(-x^2+2xy-y^2)
= -pq(x-y)^2 <= 0
∴(px+qy)^2 <= (px^2+qy^2),当且仅当x=y时等号成立
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