（2004•威海）三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=2BC=12．将纸片折叠使点A总是落在BC边上，记为点D，EF是折痕，如右图．（1）当△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形时，求△DCF的面积；（2）在BC边上

Question

（2004•威海）三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=2BC=12．将纸片折叠使点A总是落在BC边上，记为点D，EF是折痕，如右图．
（1）当△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形时，求△DCF的面积；
（2）在BC边上是否存在一点D，使以D，E，F为顶点的三角形和以D，E，B为顶点的三角形相似？若存在，求出相似比；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，sinA=(BC)/(AB)＝(1)/(2)．
∴∠A=30°=∠EDF，AC=AB•cos30°=6√(3)•
△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形，
∴∠DFE=∠DEF=75°
∴∠DFC=30°，
∴DF=2DC=AF，CF=√(3)DC，
∴√(3)DC+2DC=6√(3)，
∴DC=12√(3)-18，CF=√(3)DC=36-18√(3)
∴△DCF的面积s=378√(作业帮用户2016-11-26举报问题解析（1）在Rt△ABC中，由于AB=2BC，利用sinA可以得到∠A=30°=∠EDF，接着利用三角函数可以求出AC，而△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到∠DFE=∠DEF=75°，进一步得到∠DFC=30°，利用直角三角形的性质可以得到DF=2DC=AF，CF=√(3)DC，然后列出方程√(3)DC+2DC=6√(3)，由此求出CD，CF，最后利用面积的割补即可求解．（2）不存在．由于在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，而∠EDF=30°，如果△DEF和△BDE相似，则根据相似三角形的性质得到∠BDE和∠BED必须有一个等于30°，显然当D点与C点重合的时候∠BDE最小，此时∠BDE=6 O°，由此即可判定；如果∠BED=30°，那么∠BDE=90°，而∠DEF=75°，所以△DEF和△BDE不能相似，这样就可以解决问题．名师点评本题考点：相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．考点点评：此题分别考查了相似三角形的性质与判定、解直角三角形及折叠问题，也是一个存在性问题，解题时首先正确理解题意，然后利用图形的性质解决问题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)