（2014•南平）如图，已知抛物线y=-12x2+bx+c图象经过A（-1，0），B（4，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若C（m，m-1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、

Question

（2014•南平）如图，已知抛物线y=-(1)/(2)x2+bx+c图象经过A（-1，0），B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m-1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求证：四边形DECF是矩形；
②连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-(1)/(2)x2+bx+c图象经过A（-1，0），B（4，0）两点，
∴根据题意，得

0＝−(1)/(2)−b+c

0＝−8+4b+c

，
解得  

b＝(3)/(2)

c＝2

，
所以抛物线的解析式为：y＝−(1)/(2)x2+(3)/(2)x+2；

（2）①证明：∵把C（m，m-1）代入y＝−(1)/(2)x2+(3)/(2)x+2得
∴m−1＝−(1)/(2)m2+(3)/(2)m+2，
解得：m=3或m=-2，
∵C（m，m-1）位于第一象限，
∴<

作业帮用户 2017-10-21 举报

问题解析

（1）根据待定系数法即可求得；
（2）把C（m，m-1）代入y＝−

√(m＞0m−1＞0)(1)/(2)x2+(3)/(2)x+2求得点C的坐标，从而求得AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，然后根据(AH)/(CH)＝(CH)/(BH)＝2，∠AHC=∠BHC=90°得出△AHC∽△CHB，根据相似三角形的对应角相等求得∠ACH=∠CBH，因为∠CBH+∠BCH=90°所以∠ACH+∠BCH=90°从而求得∠ACB=90°，先根据有两组对边平行的四边形是平行四边形求得四边形DECF是平行四边形，进而求得□DECF是矩形；
（3）根据矩形的对角线相等，求得EF=CD，因为当CD⊥AB时，CD的值最小，此时CD的值为2，所以EF的最小值是2；

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上点的坐标的求法，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质等，本题是二次函数的综合性题，其难点是三角形相似的判定：两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；

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