（2006•南通二模）如图所示，轻质弹簧将质量为m的小物块连接在质量为M（M=3m）的光滑框架内．小物块位于框架中心位置时弹簧处于自由长度．现框架与小物块共同以速度V0沿光滑水平面向

Question

（2006•南通二模）如图所示，轻质弹簧将质量为m的小物块连接在质量为M（M=3m）的光滑框架内．小物块位于框架中心位置时弹簧处于自由长度．现框架与小物块共同以速度V₀沿光滑水平面向左匀速滑动．
（1）若框架与墙壁发生瞬间碰撞后速度为0且与墙壁间不粘连，求框架刚要脱离墙壁时小物块速度的大小和方向；
（2）在（1）情形下，框架脱离墙壁后的运动过程中，弹簧弹性势能的最大值
（3）若框架与墙壁发生瞬间碰撞，立即反弹，在以后过程中弹簧的最大弹性势能为2/3mv_o²，求框架与墙壁碰撞时损失的机械能△E₁
（4）在（3）情形下试判定框架与墙壁能否发生第二次碰撞？若不能，说明理由．若能，试求出第二次碰撞时损失的机械能△E2．（设框架与墙壁每次碰撞前后速度大小之比不变）

Answer 1

（1）框架与墙壁碰撞后，物块以V₀压缩弹簧，后又返回，当返回原位时框架开始离开，由机械能守恒知，此时物块速度是v₀方向向右．
（2）设弹簧有最大势能时共同速度为v 由动量守恒定律知   mv₀=4mv
由能量守恒定律    (1)/(2)mv02＝(1)/(2)×4mv2+E_P×
E_P=(3)/(8)mv02                                            
（3）设框架反弹速度为v₁、最大势能时共同速度为v，则
由动量、能量守恒定律得
3mv₁-mv₀=4mv
(1)/(2)×3mv12+(1)/(2)mv02=(1)/(2)×4mv2+(2)/(3)mv02          
解得：9v12+18v₁v₀-7v02=0           v₁=(v0)/(3)     v′1＝−(7)/(3)v₀（舍去）
带入得：v=0                         
△E₁=(1)/(2)×3mv02−(1)/(2)×3mv12=(4)/(3)mv02     
（4）由（3）知第一次碰后反弹后，二者总动量为零，故当弹簧再次伸展后仍可继续与墙壁相撞，并以V₁=(v0)/(3)的速度与墙壁相撞，由题意知，(v2)/(v1)＝(v1)/(v0)  所以 v2＝(v0)/(9)
故△E₂=(1)/(2)×3m((v0)/(3))2-(1)/(2)×3m((v0)/(9))2=(4)/(27)mv02
答：（1）若框架与墙壁发生瞬间碰撞后速度为0且与墙壁间不粘连，框架刚要脱离墙壁时小物块速度的大小为v₀，方向向右；
（2）在（1）情形下，框架脱离墙壁后的运动过程中，弹簧弹性势能的最大值为(3)/(8)mv₀²；
（3）框架与墙壁碰撞时损失的机械能为(4)/(3)mv₀²；
（4）能，第二次碰撞时损失的机械能为(4)/(27)mv₀²．