（2013•宿迁）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、

Question

（2013•宿迁）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．
（1）证明△AMF是等腰三角形；
（2）当EG过点D时（如图（3）），求x的值；
（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值．

Answer 1

（1）证明：如图1，∵EF∥AD，
∴∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF．
∵△GFE与△BFE关于EF对称，
∴△GFE≌△BFE，
∴∠GFE=∠BFE，
∴∠A=∠AMF，
∴△AMF是等腰三角形；

（2）如图1，作DQ⊥AB于点Q，
∴∠AQD=∠DQB=90°．
∵AB∥DC，
∴∠CDQ=90°．
∵∠B=90°，
∴四边形CDQB是矩形，
∴CD=QB=2，QD=CB=6，
∴AQ=10-2=8．
在Rt△ADQ中，由勾股定理得
AD=√(64+36)=10，
∴tan∠A=(3)/(4)，
∴tan∠EFB=(EB)/(FB)=(3)/(4)
如图3，∵EB=x，
∴FB=(4)/(3)x，CE=6-x，
∴AF=MF=10-(4)/(3)x，
∴GM=(8)/(3)x−10，
∴GD=2x-(15)/(2)，
∴DE=(15)/(2)-x，
在Rt△CED中，由勾股定理得
（(15)/(2)-x）²-（6-x）²=4，
解得：x=(65)/(12)，
∴当EG过点D时x=(65)/(12)；

（3）当点G在梯形ABCD内部或边AD上时，
y=(1)/(2)x•(4)/(3)x=(2)/(3)x²，
当点G在边AD上时，易求得x=(15)/(4)，
此时0＜x≤(15)/(4)，
则当x=(15)/(4)时，y最大值为(75)/(8)．
当点G在梯形ABCD外时，
∵△GMN∽△GFE，
∴(S△GMN)/(S△GFE)＝((GM)/(GF))2，
即((2)/(3)x2−y)/(作业帮用户2016-12-15举报问题解析（1）由条件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE与△BFE关于EF对称可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，从而得出结论；（2）当EG过点D时在Rt△EDC中由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论当点G不在梯形外时和点G在梯形之外两种情况求出x的值就可以求出y与x之间的函数关系式，在自变量的取值范围内就可以求出相应的最大值，从而求出结论；名师点评本题考点：相似形综合题．考点点评：本题考查了等腰三角形的判定及性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，函数的解析式的性质的运用，分段函数的运用，三角函数值的运用，解答时求分段函数的解析式是难点．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)