（2002•盐城）已知：如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，2）的直线AB与以坐标原点为圆心，3为半径的圆相切于点C，且与x轴的负半轴相交于点B．（1）求∠BAO的度数；（2）求直线AB的解

Question

（2002•盐城）已知：如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，2）的直线AB与以坐标原点为圆心，√(3)为半径的圆相切于点C，且与x轴的负半轴相交于点B．
（1）求∠BAO的度数；
（2）求直线AB的解析式；
（3）若一抛物线的顶点在直线AB上，且抛物线的顶点和它与x轴的两个交点构成斜边长为2的直角三角形，求此抛物线的解析式．

Answer 1

（1）∵AB与⊙O相切
∴OC⊥AB
在直角三角形OAC中，OC=√(3)，OA=2，
∴sin∠BAO=(OC)/(OA)=(√(3))/(2)．
∴∠BAO=60°．

（2）在直角三角形BAO中，
∵∠BAO=60°，OA=2；
∴OB=2√(3)．
∴B（-2√(3)，0）．
设直线AB的解析式为y=kx+2．
则有：-2√(3)k+2=0，k=(√(3))/(3)；
∴y=(√(3))/(3)x+2．

（3）设抛物线的顶点坐标为（x，

作业帮用户 2017-09-25 举报

问题解析

（1）已知了A点的坐标，即可得出OA的长，由于AB与圆O相切，因此OC⊥AB，可在直角三角形OAC中，根据OA的长和圆的半径求出∠BAO的度数．
（2）已知了∠BAO的度数和OA的长，可在直角三角形BOA中用三角函数求出OB的长，即可得出B点的坐标，进而可用待定系数法求出直线AB的解析式．
（3）根据抛物线的对称性可知，抛物线的顶点和它与x轴的两个交点构成的直角三角形应该是等腰直角三角形，已知了这个等腰直角三角形的斜边长为2，那么斜边上的高应该是1，即抛物线顶点的纵坐标的绝对值为1．因此可根据直线AB的解析式设出抛物线的顶点坐标，然后根据抛物线顶点纵坐标绝对值为1求出抛物线的顶点坐标，因此来求出抛物线的解析式．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了解直角三角形的应用、切线的性质、一次函数解析式的确定以及二次函数的相关知识等知识点．

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