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(2013•连云港模拟)如图,抛物线y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A(4,0),B(-2,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)M为第一象限内抛物线上一动点,点M在何处时,△ACM的面积
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(1)求该抛物线的解析式;
(2)M为第一象限内抛物线上一动点,点M在何处时,△ACM的面积最大;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P,使得△PAC为直角三角形?若存在,请求出所有可能点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A(4,0),B(-2,0),
∴
,
解得
.
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+8.
(2)设M坐标为(a,-a2+2a+8),其中a>0.
∵抛物线与y轴交于点C,
∴C(0,8).
∵A(4,0),C(0,8).
∴直线AC的解析式为y=-2x+8.
过点M作x轴的垂线,交AC于N,则N的坐标为(a,-2a+8).
∴△ACM的面积=△MNC的面积+△AMN的面积
=-a2+4a
=-(a-2)2+4
当a=2,即M坐标为(2,8)时,△ACM的面积最大,最大面积为4.
(3)①当∠ACP=90°时,点P的坐标为(1,8.5);
②当∠CAP=90°时,点P的坐标为(1,-1.5);
③当∠APC=90°时,点P的坐标为(1,4+
)或(1,4-
).
∴
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解得
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∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+8.

∵抛物线与y轴交于点C,
∴C(0,8).
∵A(4,0),C(0,8).
∴直线AC的解析式为y=-2x+8.
过点M作x轴的垂线,交AC于N,则N的坐标为(a,-2a+8).
∴△ACM的面积=△MNC的面积+△AMN的面积
=-a2+4a
=-(a-2)2+4
当a=2,即M坐标为(2,8)时,△ACM的面积最大,最大面积为4.
(3)①当∠ACP=90°时,点P的坐标为(1,8.5);
②当∠CAP=90°时,点P的坐标为(1,-1.5);
③当∠APC=90°时,点P的坐标为(1,4+
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