如图,在凸四边形ABCD中,AB=BC=CD,对角线AC与BD交与点E,且∠BAD+∠ADC=120°求证：AE=DE

Question

如图,在凸四边形ABCD中,AB=BC=CD,对角线AC与BD交与点E,且∠BAD+∠ADC=120°求证：AE=DE

Answer 1

证明：依题设∠BCD=X,相对应的等腰底角为1,∠ABC=Y,相对应的等腰底角为2.
因为∠BAD+∠ADC=120°,所以X+Y=240°.
又因为X+1*2=180°,Y+2*2=180°.所以1+2=60°.所以∠AED=120°.
作DB与AC的垂线相交于点O,即OD⊥DB,OA⊥AC.
在四边形OAED中,∠AOD=360°-120°-90°-90°=60°.
连接OE,则OE为∠AOD的角平分线(OD⊥DB,OA⊥AC).
所以AE=DE
令DC与AB的延长线相交于点O,则∠O=60°.
在BC的垂直平分线上取一点F,使△FCB为等边三角形.
连接FD、FA,设∠OCF=X,则∠CDF=X/2,
因为△FCB为等边三角形,所以∠FBO=X,∠AFB=X/2.
所以△DCF≌△ABF,FD=FA且∠AFD=60°.
所以△FDA为等边三角形.
因为CA垂直平分DF,DB垂直平分AF,所以AC、BD为△FDA中∠FAD、∠FDA的角平分线,所以AE=DE.