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(2013•常州)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,点O为Rt△ABC内一点,连接A0、BO、CO,且∠AOC=∠COB=BOA=120°,按下列要求画图(保留画图痕迹):以点B为旋转中心,将△AOB绕点B顺时针方向旋转6

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(2013•常州)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=
3
,点O为Rt△ABC内一点,连接A0、BO、CO,且∠AOC=∠COB=BOA=120°,按下列要求画图(保留画图痕迹):
以点B为旋转中心,将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A′O′B(得到A、O的对应点分别为点A′、O′),并回答下列问题:
∠ABC=______,∠A′BC=______,OA+OB+OC=
7
7
▼优质解答
答案和解析
∵∠C=90°,AC=1,BC=
3

∴tan∠ABC=
AC
BC
=
1
3
=
3
3

∴∠ABC=30°,
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,
∴△A′O′B如图所示;

∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°,

∵∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,
∴AB=2AC=2,
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A′O′B,
∴A′B=AB=2,BO=BO′,A′O′=AO,
∴△BOO′是等边三角形,
∴BO=OO′,∠BOO′=∠BO′O=60°,
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°,
∴C、O、A′、O′四点共线,
在Rt△A′BC中,A′C=
BC2+A′B2
=
3
2+22
=
7

∴OA+OB+OC=A