（2014•吉林）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B运动，到点O停止1s后

Question

（2014•吉林）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B运动，到点O停止1s后继续运动，到点B停止，连接AP，AQ，PQ．设△APQ的面积为y（cm²）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）．
（1）填空：AB=______cm，AB与CD之间的距离为

(24)/(5)

(24)/(5)

cm；
（2）当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；
（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．

Answer 1

（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，
∴AC⊥BD，
∴AB=√(((AC)/(2))2+((BD)/(2))2)=√(32+42)=5，
设AB与CD间的距离为h，
∴△ABC的面积S=(1)/(2)AB•h，
又∵△ABC的面积S=(1)/(2)S_菱形ABCD=(1)/(2)×(1)/(2)AC•BD=(1)/(4)×6×8=12，
∴(1)/(2)AB•h=12，
∴h=(24)/(AB)=(24)/(5)．

（2）设∠CBD=∠CDB=θ，则易得：sinθ=(3)/(5)，cosθ=(4)/(5)．
①当4≤x≤5时，如答图1-1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上．
∵PB=x，∴PC=BC-PB=5-x．
过点P作PH⊥AC于点H，则PH=PC•cosθ=(4)/(5)（5-x）．
∴y=S_△APQ=(1)/(2)QA•PH=(1)/(2)×3×(4)/(5)（5-x）=-(6)/(5)x+6；
②当5＜x≤9时，如答图1-2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上．
PC=x-5，PD=CD-PC=5-（x-5）=10-x．
过点P作PH⊥BD于点H，则PH=PD•sinθ=(3)/(5)（10-x）．
∴y=S_△APQ=S_菱形ABCD-S_△ABQ-S_{四边形BCPQ}-S_△APD
=S_菱形ABCD-S_△ABQ-（S_△BCD-S_△PQD）-S_△APD
=(1)/(2)AC•BD-

作业帮用户 2017-09-28 举报

问题解析

（1）根据勾股定理即可求得AB，根据面积公式求得AB与CD之间的距离．
（2）当4≤x≤10时，运动过程分为三个阶段，需要分类讨论，避免漏解：
①当4≤x≤5时，如答图1-1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上；
②当5＜x≤9时，如答图1-2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上；
③当9＜x≤10时，如答图1-3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．
（3）有两种情形，需要分类讨论，分别计算：
①若PQ∥CD，如答图2-1所示；
②若PQ∥BC，如答图2-2所示．

名师点评

本题考点：

四边形综合题；勾股定理；菱形的性质；相似图形．

考点点评：

本题是运动型综合题，考查了菱形的性质、勾股定理、图形面积、相似等多个知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．本题第（2）（3）问均需分类讨论，这是解题的难点；另外，试题计算量较大，注意认真计算．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议