（2014•邯郸一模）已知矩形ABCD中，点M是CD上一点，连接AM，作ME⊥AM交射线CB于点E．①如图1，当CM=BC时，求证AM=ME；②如图2，若MC：BC=4：3，求sin∠AEM；③如图3，若AB=5，AD=2，点N是AE的中点，

Question

（2014•邯郸一模）已知矩形ABCD中，点M是CD上一点，连接AM，作ME⊥AM交射线CB于点E．
①如图1，当CM=BC时，求证AM=ME；
②如图2，若MC：BC=4：3，求sin∠AEM；
③如图3，若AB=5，AD=2，点N是AE的中点，当CM=______时，线段MN有最小值．

Answer 1

（1）证明：在矩形ABCD中AD=BC，∠D=∠C=90°，
∵BC=CM，
∴CM=AD，
∵∠AME=90°，
∴∠AMD+∠CME=90°，
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠CME=∠DAM，
在△ADM与△MCE中，

∠CME＝∠DAM

AD＝CM

∠D＝∠C

，
∴△ADM≌△MCE（ASA），
∴AM=EM；

（2）在矩形ABCD中AD=BC，∠D=∠C=90°，
∵MC：BC=4：3，
∴MC：AD=4：3，
∵∠AME=90°，
∴∠AMD+∠CME=90°，
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠CME=∠DAM，
∴△ADM∽△MCE，
∴EM：AM=MC：AD=4：3，
∵∠AME=90°，
∴EM：AM：AE=4：3：5，
∴sin∠AEM=(3)/(5)；

（3）∵∠AME=90°，N为AE的中点，
∴NM=(1)/(2)AE，
∴当AE最小时，MN最小，
∴当AE与AB重合时，AE最小，
∵∠D=∠C，∠AMD=∠MEC，
∴△ADM∽△MCE，
设MC=x，
∵AB=5，AD=2，
∴DM=5-x，
∴(2)/(x)＝(5−x)/(2)
解得x=1或4，
故答案为：1或4．