（2014•唐山三模）设数列{an}满足a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，则数列{an}的前n项和可以表示为（）A.ni=1Ci-1n3n-i+1B.ni=1（Ci-1n3n-i+i）C.ni=1Cin3n-i+1D.ni=1（Cin3n-i+i）

Question

（2014•唐山三模）设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，则数列{a_n}的前n项和可以表示为（　　）
A.

n

i=1

C

i-1 n

3^n-i+1
B.

n

i=1

（

C

i-1 n

3^n-i+i）
C.

n

i=1

C

i n

3^n-i+1
D.

n

i=1

（

C

i n

3^n-i+i）

Answer 1

∵a_n+1=4a_n-3n+1，
∴a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），
∵a₁=2，
∴a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是以1为首项，公比为4的等比数列．
∴an-n=4n-1，an=4n-1+n．
∴Sn=(1+1)+(4+2)+(42+3)+…+(4n-1+n)
=（1+2+3+…+n）+（1+4+4²+…+4^n-1）
=(n(n+1))/(2)+(4n-1)/(3)．
而(1)/(3)(4n-1)+(1)/(2)n(n+1)
=(1)/(3)[(3+1)n-1]+(1)/(2)n(n+1)
=(1)/(3)(3n+

C

1 n

3n-1+…+

C

n-2 n

32+

C

n-1 n

3+1-1)+(1)/(2)n(n+1)
=3n-1+

C

1 n

3n-2+…+

C

n-2 n

3+

C

n-1 n

+（1+2+…+n）
=

n

i=1

(

C

i-1 n

3n-i+i)．
故选：B．