（2013•广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙0的切线．（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=

Question

（2013•广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙0的切线．
（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=(4)/(5)，求BF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切线；

（2）∵∠DAC=∠DAB，
∴∠ADE=∠ABD，
在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=(AD)/(AB)=(4)/(5)，而AB=10，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，sin∠ADE=(AE)/(AD)=(4)/(5)，
∴AE=(32)/(5)，
∵OD∥AE，
∴△FDO∽△FEA，
∴(OD)/(AE)=(FO)/(FA)，即(5)/((32)/(5))=(BF+5)/(BF+10)，
∴BF=(90)/(7)．