（2014•咸宁）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若点E为AB的中点，AD=325，AC=8，求AB和CE的长．

Question

（2014•咸宁）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若点E为

AB

的中点，AD=(32)/(5)，AC=8，求AB和CE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
即AC平分∠DAB；

（2）连接BC，OE，过点A作AF⊥EC于点F，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴(AD)/(AC)＝(AC)/(AB)，
即((32)/(5))/(8)＝(8)/(AB)，
解得：AB=10，
∴BC=√(AB2−AC2)=6，
∵点E为

AB

的中点，
∴∠AOE=90°，
∴OE=OA=(1)/(2)AB=5，
∴AE=√(OA2+OE2)=5√(2)，
∵∠AEF=∠B（同弧所对圆周角相等），∠AFE=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△AFE，
∴(AB)/(AE)＝(AC)/(AF)＝(BC)/(EF)，
∴(10)/(5√(2))＝(8)/(AF)＝(6)/(EF)，
∴AF=4

作业帮用户 2016-11-19 举报

问题解析

（1）首先连接OC，由直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，易证得OC∥AD，继而可得AC平分∠DAB；
（2）首先连接BC，OE，过点A作AF⊥BC于点F，可证得△ADC∽△ACB，△ACB∽△AFE，△ACF是等腰直角三角形，然后由相似三角形的对应边成比例以及勾股定理，即可求得答案．

名师点评

本题考点：

切线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．

考点点评：

此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

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