（2014•荆州模拟）如图所示，在棱长为1的正方体AC1中，E，F分别为DD1，DB的中点．（1）试判断EF与平面ABC1D1的关系，并加以证明；（2）求EF与B1C所成的角；（3）求三棱锥B-EFC的体积．

Question

（2014•荆州模拟）如图所示，在棱长为1的正方体AC₁中，E，F分别为DD₁，DB的中点．
（1）试判断EF与平面ABC₁D₁的关系，并加以证明；
（2）求EF与B₁C所成的角；
（3）求三棱锥B-EFC的体积．

Answer 1

（1）连接BD₁，在△DD₁B中，E、F分别为D₁D，DB的中点，则EF∥D₁B
∵D₁B⊂平面ABC₁D₁，EF⊂平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁；
（2）根据题意可知：B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，AB∩BC₁=B，
∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，
∵BD₁⊂平面ABC₁D₁，
∴B₁C⊥BD₁，
∵EF∥BD₁，
∴EF⊥B₁C；
（3）V_B-EFC=V_E-BCF=(1)/(3)•(1)/(2)•1•(1)/(2)•(1)/(2)=(1)/(24)