（2011•衡阳）已知抛物线y＝12x2−mx+2m−72．（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．（2）如图，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x-1与

Question

（2011•衡阳）已知抛物线y＝(1)/(2)x2−mx+2m−(7)/(2)．
（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）如图，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

（1）该函数的判别式=m²-4m+7=（m-2）²+3≥3
∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点．

（2）由直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，
∴点A（1，0）
代入二次函数式则m=3
故二次函数式为：y＝(1)/(2)x2−3x+(5)/(2)
当抛物线的对称轴为直线x=3时，则y=-2，
即顶点C为（3，-2），
把x=3代入直线y=x-1则y=2，
即点D（3，2）
则AD=AC=2√(2)
设点P（x，(1)/(2)x2−3x+(5)/(2)）
由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等
则((1)/(2)x2−3x+(5)/(2)+2)/(x−3)＝1
解得：x=3或x=5
则点P（3，-2）（与点D重合舍去）或（5，0）
经检验点（5，0）符合，
所以点P（5，0）
②设直线AB解析式为y=kx+b，将A（1，0），D（3，2）代入得直线AB：y=x-1，
设M（a，a-1），N（a，(1)/(2)a²-3a+(5)/(2)），
当以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，MN=CD，即|（a-1）-（(1)/(2)a²-3a+(5)/(2)）|=4，
解得a=4±√(17)或3或5，
故把直线CD向右平移1+√(17)个单位或2个单位，向左平移√(17)-1个单位，能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．