（2014•江门模拟）已知正项等比数列{an}（n∈N*），首项a1=3，前n项和为Sn，且S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{nSn}的前n项和Tn．

Question

（2014•江门模拟）已知正项等比数列{a_n}（n∈N^*），首项a₁=3，前n项和为S_n，且S₃+a₃、S₅+a₅、S₄+a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{nS_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）设正项等比数列{a_n}（n∈N^*），又a₁=3，∴an＝3qn−1，
∵S₃+a₃、S₅+a₅、S₄+a₄成等差数列，
∴2（S₅+a₅）=（S₃+a₃）+（S₄+a₄），
即2（a₁+a₂+a₃+a₄+2a₅）=（a₁+a₂+2a₃）+（a₁+a₂+a₃+2a₄），
化简得4a₅=a₃，
∴4a1q4＝a1q2，化为4q²=1，
解得q＝±(1)/(2)，
∵{a_n}（n∈N^*）是单调数列，
∴q＝(1)/(2)，an＝(6)/(2n)．
（2）由（1）知Sn＝6(1−(1)/(2n))，
Tn＝6(1−(1)/(2))+6(2−(2)/(22))+6(3−(3)/(23))+…+6(n−(n)/(2n))，
Tn＝3n(n+1)−6((1)/(2)+(2)/(22)+(3)/(23)+…+(n)/(2n))，
设Rn＝(1)/(2)+(2)/(22)+(3)/(23)+…+(n)/(2n)，则2Rn＝1+(2)/(2)+(3)/(22)+…+(n)/(2n−1)，
两式相减得Rn＝1+(1)/(2)+(1)/(22)+

作业帮用户 2017-09-28 举报

问题解析

（1）利用等差数列和等比数列的通项公式、前n项和的意义即可得出；
（2）利用等差数列和等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

名师点评

本题考点：

数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和．

考点点评：

本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．

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