（2014•湛江一模）如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，D、E、F分别是PC、AC、BC的中点．（1）证明：平面DEF∥平面PAB；（2）证明：AB⊥PC；（3）若AB=2PC=2，

Question

（2014•湛江一模）如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，D、E、F分别是PC、AC、BC的中点．
（1）证明：平面DEF∥平面PAB；
（2）证明：AB⊥PC；
（3）若AB=2PC=√(2)，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

（1）证明：∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF∥AB．
∵AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，
∴EF∥平面PAB，同理DF∥平面PAB．
∵EF∩DF=F且EF⊂平面DEF，DF⊂平面DEF，
∴平面DEF∥平面PAB．
（2）证明：取AB的中点G，连结PG、CG，
∵△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴PG⊥AB，CG⊥AB，

∵PG∩CG=G，且PG⊂平面PCG，CG⊂平面PCG，∴AB⊥平面PCG．
∵PC⊂平面PCG，∴AB⊥PC；
（3）在等腰直角三角形PAB中，AB＝√(2)，G是斜边AB的中点，
∴PG＝(1)/(2)AB＝(√(2))/(2)，
同理CG＝(√(2))/(2)．                     
∵PC＝(√(2))/(2)，∴△PCG是等边三角形，
∴S△PCG＝(1)/(2)•PG•CG•sin60°＝(1)/(2)•(√(2))/(2)•(√(2))/(2)•

作业帮用户 2017-09-20 举报

问题解析

（1）根据三角形的中位线定理可得EF∥AB，DF∥PB，利用面面平行的判定定理可证平面DEF∥平面PAB；
（2）先证AB⊥平面PGC，再由线面垂直的性质得AB⊥PC．
（3）先求得三角形PGC的面积，根据V_P-ABC=(1)/(3)×S_△PGC×AB计算棱锥的体积．

名师点评

本题考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定．

考点点评：

本题考查了面面平行的证明，线面垂直的证明及性质及三棱锥的体积计算，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，熟练掌握面面平行的判定定理及线面垂直的判定定理的条件是关键．

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