（20人4•佛山模拟）已知函数f（x）=x|x-a|-ln（x+人）（人）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=-人时，若∀x∈[0，+∞），f（x）≤（s+人）x2恒成立，求实数s的最小值；（3）证明：ni

Question

（20人4•佛山模拟）已知函数f（x）=x|x-a|-ln（x+人）
（人）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=-人时，若∀x∈[0，+∞），f（x）≤（s+人）x²恒成立，求实数s的最小值；
（3）证明：

n

i=人

(2)/(2i-人)-ln（2n+人）＜2（n∈N^*）

Answer 1

（1）当四=5时，f（x）=x|x|-ln（x+1）（x＞-1），
当x∈（-1，5]时，f（x）=-x²-ln（x+1），
f′(x)=-2x-(1)/(x+1)=-(2x2+2x+1)/(x+1)＜5，
∴f（x）在x∈（-1，5]上是减函数；
当x∈（5，+∞）时，f（x）=x²-ln（x+1），
f′(x)=2x-(1)/(x+1)=(2x2+2x-1)/(x+1)，令f'（x）＞5得x＞(√(5)-1)/(2)，
∴f（x）在(5，(√(5)-1)/(2))上单调递减，在((√(5)-1)/(2)，+∞)上单调递增；
综上得，f（x）的单调递减区间是（-1，5]，（5，(√(5)-1)/(2)），单调递增区间是((√(5)-1)/(2)，+∞)．
（2）当四=-1时，f（x）=x|x+1|-ln（x+1）=x²+x-ln（x+1），
∴∀x∈[5，+∞）时，x²+x-ln（x+1）≤（k+1）x²，即kx²-x+ln（x+1）≥5，
设g（x）=kx²-x+ln（x+1），x≥5，
当k≤5时，g（1）≤-1+ln2＜5不合题意．
当k＞5时，g′(x)=2kx-1+(1)/(x+1)=(2kx[x+(1-(1)/(2k))])/(x+1)，
令g'（x）=5，得x1=5，x2=(1)/(2k)-1＞-1，
①当k≥(1)/(2)时，x2=(1)/(2k)-1≤5，g′(x)＞5在