（2014•天津二模）如图所示，M、N为平行板电容器的两极板，M板的上表面涂有一种特殊材料，确保粒子和M板相撞后以原速率反弹且电荷量不变，其上方腰长为2a、底角为45°的等腰指教三角

Question

（2014•天津二模）如图所示，M、N为平行板电容器的两极板，M板的上表面涂有一种特殊材料，确保粒子和M板相撞后以原速率反弹且电荷量不变，其上方腰长为2a、底角为45°的等腰指教三角形区域内，有垂直纸面向外的均强磁场．N板上的O处有粒子源，能产生质量为m、电荷量为q的带负电的粒子（初速度忽略不计），经电场加速后从M板上距离D点为√(2)a的小孔P垂直于DC进入磁场．若粒子从P点进入磁场后经时间t第一次与M板相撞，且撞击点为D点，不计粒子重力与空气阻力的影响．
（1）求电容器两板之间的电势差U；
（2）若粒子未与M板相撞而从AD边射出，侧感应强度应满足什么条件？
（3）若将磁场反向，并调节磁感应强度大小，是粒子和M板相撞一次后垂直于AC射出磁场，求粒子再磁场中运动的时间．

Answer 1

（1）粒子运动轨迹如图所示：

由几何知识可得：粒子的轨道半径R₁=(√(2))/(2)a  ①，
粒子运动时间：t=(πR1)/(v)  ②，
粒子的是v=(√(2)πa)/(2t)  ③
粒子在平行板电容器中加速，由动能定理得：qU=(1)/(2)mv²，
解得：U=(mπ2a2)/(4qt2)；
（2）粒子恰从D点射出时，粒子半径最小，磁感应强度最大，
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=(2πm)/(qB1)，T=2t，解得：B₁=(πm)/(qt)，
粒子和AC边相切时，粒子轨道半径最大，轨迹如图所示，

此时磁感应强度最小，由数学知识可知：R₂=√(2)a，
由牛顿第二定律得：qvB₂=m(v2)/(R2)，解得：B₂=(πm)/(2qt)，
磁感应强度应满足的关系：(πm)/(2qt)≤B≤(πm)/(qt)；
（3）磁场反向后，运动轨迹如图所示，

由几何知识可知，3R₃=2a-√(2)a，
轨迹长度：l=（(1)/(2)+(1)/(8)）2πR₃，
运动时间：t₃=(l)/(v)，解得：t₃=(5(√(2)−1))/(6)t；
答：（1）电容器两板之间的电势差U=(mπ2a2)/(4qt2)；
（2）粒子未与M板相撞而从AD边射出，感应强度应满足的条件是：(πm)/(2qt)≤B≤(πm)/(qt)；
（3）粒子再磁场中运动的时间为(5(√(2)−1))/(6)t．