在一个平面里有n个点,连接每个点,可以得到多少个三角形?

Question

在一个平面里有n个点,连接每个点,可以得到多少个三角形?

Answer 1

3个点,可作1个三角形4个点,可作4个三角形5个点,可作10个三角形6个点,可作20个三角形猜想,n(n≥3)个点,可作n(n-1)(n-2)/6个三角形用数学归纳法证明：①n=3时,可作1个,1=3(3-1)(3-2)/6,猜想成立②n=4时,可作4个,6=4(4-1)(4-2)/6,猜想成立③假设对于n=k(k>>3)时,猜想成立,即,可作k(k-1)(k-2)/6个三角形∴n=k+1时,比原来增加的三角形应为：增加的点k+1,与原来k个点中任意不相同的2个点所连成的三角形现猜想原来k个点中任意不相同的2个点的组合数为k(k-1)/2(k≥2)⑴k=2时,有1种组合,猜想成立⑵k=3时,有3=3(3-1)/2种组合,猜想成立⑶假设k=i(i>3)时,猜想成立,即有i(i-1)/2种组合,则k=i+1时,组合数应为i(i-1)/2+i=i(i+1)/2∴k=i+1时,猜想仍成立∴k个点中任意不相同的2个点的组合数为k(k-1)/2(k≥2)∴当n=k+1时,能作的三角形的数量为：k(k-1)(k-2)/6+k(k-1)/2=(k-1)(k^2-2k+3k)/6=(k-1)k(k+1)/6∴当n=k+1时,关于可作三角型个数的猜想仍成立综上,当n≥3时,能作n(n-1)(n-2)/6个三角形