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an为1^k+2^k+...+n^k的个位数码,证0.a1a2...an是有理数（谢谢）
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an为1^k+2^k+...+n^k的个位数码,证0.a1a2...an是有理数（谢谢）
▼优质解答
答案和解析
我们需要证明的就是0.a1a2...an...存在一个循环节
事实上,对于某个a^k的个位一定和(10+a)^k的个位一样
所以1^k+2^k+...+100^k的个位恰好有10个1^k的个位,10个2^k的个位,...,10个10^k的个位
则这样加起来1^k+2^k+...+100^k的个位一定恰好为0
于是a101会重复a1的数码,a102会重复a2的数码,...
所以0.a1a2...an又一个长度至多100位的循环节,所以一定是有理数
事实上,对于某个a^k的个位一定和(10+a)^k的个位一样
所以1^k+2^k+...+100^k的个位恰好有10个1^k的个位,10个2^k的个位,...,10个10^k的个位
则这样加起来1^k+2^k+...+100^k的个位一定恰好为0
于是a101会重复a1的数码,a102会重复a2的数码,...
所以0.a1a2...an又一个长度至多100位的循环节,所以一定是有理数
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